Free evolution of the hyperboloidal initial value problem in spherical simmetry

Resum

Aquesta tesi tracta sobre l'aplicació de mètodes numèrics de compactificació conformal a la resolució numèrica de les equacions d'Einstein de la Relativitat General. Aquestes formen un sistema complex d'equacions diferencials amb derivades parcials que només es pot resoldre analíticament per a espai-temps altament simètrics. Espai-temps més generals necessiten mètodes numèrics per a la seva resolució. A la Relativitat General, quantitats físiques com l'energia total o el flux de radiació només poden definir-se inequívocament a la regió asimptòtica de l'espai-temps, la qual cosa requereix el tractament numèric de regions infinites. L'enfocament tradicional a codis de Relativitat Numèrica es basa en foliacions espacials tallades per un contorn temporal artificial, les dades de la qual s'extrapolen al l'infinit. L'objectiu d'aquesta tesi es continuar amb el desenvolupament d'una estratègia alternativa que resolgui de forma efectiva les ecuacions d'Einstein per a espai-temps que incloguin sistemes radiants aïllats i que permeti calcular el senyal de radiació sense aproximacions. Seguint una idea de Penrose, en lloc de l'espai-temps físic s'utilitza un altre relacionat amb l'anterior mitjançant un re-escalament conformal. A dins d'aquest espai-temps re-escalat, els límits cap a l'infinit es substitueixen per geometria diferencial local i les quantitats físiques observables poden ser avaluades directament. Per calcular la radiació convé seccionar l'espai-temps en foliacions hiperboloidals, les quals són foliacions espacials suaus que arriben a l'infinit nul futur, el “lloc” de l'espai-temps on arriben els raigs de llum. Entre els avantatges d'utilitzar foliacions hiperboloidals hi ha el no requerir condicions de contorn, ja que l'infinit nul futur és una superfície nul.la entrant i no permet l'accés d'informació des de l'exterior. El preu a pagar és que les equacions d'Einstein re-escalades són singulars a l'infinit i necessiten ser regularitzades. A més, la geometria de fons no trivial de les foliacions hiperboloidals fa que les equacions d'evolució tendeixin a inestabilitats contínues. Com a primer pas per desenvolupar algoritmes numèrics que tractin el problema de valor inicial hiperboloidal per a espai-temps amb camps dinàmics forts, la labor numèrica d'aquesta tesi es restringeix a simetria esfèrica. Donat que la regularització en la direcció radial és comú a simetria esfèrica i al cas tridimensional, s'espera que els resultats obtinguts aquí siguin aplicables, almenys en part, al cas complet. Prenent com a base formulacions lliures estàndard de la Relativitat General, específicament les equacions BSSN (Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura) i les equacions Z4, es descriurà la derivació de les seves expressions en simetria esfèrica, així com el càlcul de dades inicials adients sobre la foliació hiperboloidal donada per una foliació amb curvatura mitjana constant. Un aspecte crític és el tractament de les condicions de gauge: s'explicaran els requisits específics per al problema de valor inicial hiperboloidal, com “scri-fixing” o el gauge conformal preferent, així com l'adaptació de condicions de gauge comunment emprades actualment. Com s'esperava, la implementació numèrica va ser difícil d'estabilitzar, però mitjançant una transformació de variables i la inclusió d'un terme d'esmorteïment de lligadura, finalment va donar bons resultats. S'han realitzat simulacions estables de les equacions d'Einstein juntament amb un camp escalar sense massa, amb dades inicials regulars i de camp fort. Perturbacions petites de les dades inicials són estables per sempre, mentre que perturbacions més grans del camp escalar comporten la formació d'un forat negre. Els resultats mostren que les dades inicials d'una “trumpet” de Schwarzschild es desvien lentament dels valors estacionaris esperats, però l'efecte en el cas de perturbacions petites és suficientment lent com per poder observar les cues del camp escalar.