Estudio algebraico de las ecuaciones KPecuaciones de las variedades de moduli de curvas y de variedades de prym

Abstract

Esta memoria desarrolla la teoría de ecuaciones KP desde un punto de vista algebro-geométrico para hacerla válida sobre cuerpos arbitrarios, Como aplicación de este formalismo se obtiene: 1) Una generalización de la caracterización de Shiota y Mulase de las Jacobianas polarizadas de las curvas algebraicas en términos de la jerarquía KP (como reformulación geométrica y como caracterización de las series formales que son funciones theta de Jacobianas); 2) Una caracterización de las variedades de Prym en términos de las ecuaciones BKP; 3) El cómputo explícito de las ecuaciones de las variedades de móduli de curvas algebraicas punteadas y de variedades de Prym como subesquemas de las Grassmannianas infinitas (sobre los números complejos estas ecuaciones son sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales). La memoria formaliza, desde la geometría algebraica, la Grassmanniana Infinita (y calcula el morfismo de Plucker, sus ecuaciones, su grupo de Picard y su grupo de automorfismos) y el grupo de desarrollos de Laurent invertibles, G. Utilizando ambos elementos se construye para la curva formal el análogo de la Jacobiana y función theta de una curva algebraica (que es la función tau). Demostrando la fórmula de adición para la función tau se prueba (en característica arbitraria) que la ecuación de la Grassmanniana en un espacio proyectivo es la Ecuación Bilineal del Residuo y que en característica cero es la Jerarquía KP. El estudio del espacio de móduli de curvas punteadas (y curvas con involución) se basa en relacionarlo con la Grassmanniana vía el morfismo de Krichever, K. Se caracterizan sus puntos, se demuestra su representabilidad y se computan sus ecuaciones dentro de la Grassmanniana infinita. Además, se caracterizan los puntos de la imagen de K (que son los que proceden de Jacobianas y variedades de Prym) como las órbitas de dimensión finita de la acción de G en la Grassmanniana, generalizan