Operadores diferenciales y cálculo de variaciones

Resumen

Se trata de una contribución a los fundamentos del cálculo de variaciones de orden superior apoyada en el uso sistemático de la parte elemental de la teoría de D-módulos, En concreto se realiza un estudio de álgebra D de operadores diferenciales de una variedad diferenciable, las estructuras de D-módulo asociadas y sus aplicaciones a los operadores de Euler-Lagrange, Poincaré-Cartan y a la fórmula de Green-Vinogradov. Para un problema variacional de orden k definido sobre una variedad fibrada, se considera la diferencial de la densidad lagrangiana como un elemento de las n-formas diferenciales (n=dim M) de la variedad base M con valores en el módulo de las formas de contacto C de los espacios de hets asociados. Se demuestra que C es un D-módulo a la izquierda, donde D es el anillo de operadores diferenciales de M. Dicha estructura da lugar a una ley de derivación covariante sobre C y con ello a una diferencial a valores en dicho módulo. Como segundo punto se prueba que C está generado sobre D por los elementos de contacto de primer orden. Este hecho, junto con la toma de adjuntos da lugar de manera inmediata a la obtención del operador de Euler-Lagrange (E-L). El resultado más importante de la memoria es el siguiente: dada una conexión lineal sobre M, se construye una descomposición de los campos tangentes de orden superior utilizando como paso previo el hecho de la conexión define una graduación sobre D. Mediante esta construcción se puede factorizar la acción de campos tangentes de orden superior sobre las n-formas valoradas en un D-módulo a la izquierda arbitrario. En el caso de C, esto permite obtener de modo natural una versión global del proceso de integración por partes reiterado y, con ello, del operador de Poincaré-Cartan (P-C). A continuación se estudia un proceso alternativo, aunque basado en las mismas técnicas, de obtención del operador P-C que elimina la necesidad de recurrir