Cálculo de variaciones con ligaduras sobre variedades fibradas. Aplicación al problema de la reducción lagranciana

Abstract

Se desarrolla un formalismo para el cálculo de variaciones con ligaduras de orden superior en variables fibradas a través de la parametrización de las variaciones infinitesimales admisibles mediante operadores diferenciales, Tras formular el problema en términos de una subvariedad de ligadura y un álgebra de variación, se obtienen nuevas fórmulas de la primera y segunda variación, así como la caracterización de secciones críticas mediante ecuaciones de Euler-Lagrange. Se desarrolla también la teoría de Noether de este tipo de problemas así como la correspondiente teoría de tensores de impulso-energía. El estudio de la reducción Lagrangiana de un problema variacional libre lleva a resultados sobre la relación de estos problemas con los problemas ligados que se obtienen por reducción suya mediante morfismos de fibrados. Se muestra la aplicación de esta teoría a los ejemplos del Electromagnetismo, reducción de fibrados principales, fluidos relativistas, subvariedades Lagrangianas H-mínimas y al problema de Lagrange, para el que se obitne la correspondiente forma de Poincaré-Cartan y se establece la relación con la teoría de los multiplicadores de Lagrange.