Análisis de componentes principales disjuntas por medio de optimización por enjambre de partículas y sus aplicaciones

Resumen

En la presente tesis se propone una alternativa al método disjoint principal component analysis, que consiste en un análisis de componentes principales con restricciones y permite determinar componentes disjuntas, mediante la optimización por enjambre de partículas. El nuevo método propuesto se denomina constrained binary optimization by particle swarm disjoint principal component analysis, notado por CBPSO DC. El nuevo método usa una optimización estocástica diseñada para encontrar soluciones de alta calidad, en situaciones de gran complejidad computacional. El algoritmo del nuevo método parte generando aleatoriamente una población de partículas que iterativamente evolucionan hasta alcanzar el óptimo global, que en este caso está dado en función de las componentes disjuntas. Se proporcionan resultados numéricos que confirman la calidad de las soluciones obtenidas por el nuevo método. En el primer capítulo se presenta el desarrollo teórico del Análisis de Componentes Principales Clásico, desde un punto de vista algebraico estadístico en dimensión finita. Esta presentación es necesaria para entender cómo se va a modificar el método clásico en presencia de restricciones como las que se utilizan en las componentes disjuntas, y también para hacer una generalización a espacios funcionales que tienen dimensión infinita. En el capítulo dos se realiza una descripción pormenorizada del método de obtención de las componentes principales disjuntas de la forma clásica. A la vez que se presenta un nuevo algoritmo de cálculo CBPSO DC. Para finalizar se realizan aplicaciones del nuevo algoritmo a diferentes problemas con datos reales. En el tercer capítulo se realiza una adaptación de la optimización por enjambre de partículas al análisis HJ Biplot. Este nuevo método recibe el nombre de PSO DHJ Biplot. Además, se realiza una aplicación a datos sobre la evolución de la pandemia COVID-19. En el capítulo cuatro se presentan los contenidos teóricos necesarios para abordar la estadística de datos funcionales. Se realiza una exposición de los operadores lineales sobre espacios de Hilbert. La función de covarianzas de un conjunto de datos funcionales es un ejemplo de este tipo de operadores. Se presenta la generalización del método de las Componentes Principales Clásico al ambiente funcional. Luego se presenta la propuesta de cálculo de las componentes principales disjuntas mediante optimización por enjambre de partículas. Se presenta un ejemplo de aplicación.