Pares de Higgs, grassmanniana infinita y sistemas integrables

Resumen

Este trabajo hace un estudio detallado de la construcción de Krichever para diversos espacios de moduli, que hemos elegido motivados por el Programa de Abelianización de Hitchin. En el año 1988, Hitchin descubre una aplicación que va del espacio cotangente al moduli de fibrados (sobre una superficie de Riemann fija) a un espacio de secciones globales, y demuestra que es un sistema integrable. Formula entonces la siguiente pregunta a la comunidad científica: ¿Pueden darse, de modo concreto, las ecuaciones diferenciales de este sistema integrable? Nuestro primer objetivo ha sido profundizar en dicha cuestión utilizando como herramientas la Grassmanniana infinita y el morfismo de Krichever. El segundo objetivo ha consistido en buscar otro sistema integrable con propiedades análogas al de Hitchin, y por último, encontrar esquemas en grupos que los uniformicen. Este último objetivo es un paso importante antes de poder pensar espacios de moduli como variedades solución, variedades integrales, de jerarquías de ecuaciones diferenciales. Así pues, damos explícitamente las ecuaciones que caracterizan el espacio de moduli de pares de Higgs, al que añadimos ciertos datos formales. Para ello, demostramos que el espacio resultante es un esquema,caracterizamos la imagen del morfismo de Krichever (que esta vez valora no en una Grassmanniana, sino en toda una fibración de Grassmannianas infinitas), y traducimos dicha condición en una identidad bilineal en términos funciones de Baker-Akhiezer. Generalizamos también la construcción de Krichever para los siguientes espacios de moduli: fibrados vectoriales y curvas lisas, revestimientos finitos y punteados entre curvas lisas, y revestimientos finitos con haz de línea sobre la curva que reviste. Apoyados en este estudio, demostramos la existencia de un sistema integrable con propiedades análogas al de Hitchin y damos un relación del mismo con el Programa de Abelianización de Hitchin. Por último, probamos que ciertos esquemas en grupos - entre los que cabe destacar el grupo de automorfismos semilineales - hacen las veces de generadores locales para dichos espacios de moduli.